面对即将到来的考试也是为了督促自己的学习，笔者会不定期的更新一些有关数学的一些基础方面
非完全平方数算数平方根是无理数
其中 $a_i, b_i$ 为 $x$ 的质因数，$b_i$ 互不相同。假设 $x$ 是一个不完全平方数，那么 $\sqrt{x} = \frac{n}{m}$ 且 $\gcd(n,m) = 1$。
那么有：
$$
x = (a_1^2 a_2^2 \cdots a_n^2)(b_1 b_2 \cdots b_n) = a^2 \cdot (b_1 \cdot b_2 \cdots b_n)
$$
$$
n^2 = m^2 \cdot a^2 \cdot (b_1 \cdot b_2 \cdots b_n)
$$
对于任意一个 $b_i$ 来说，$b_i \mid n^2$ 并且 $b_i$ 是质数，所以 $b_i \mid n$。
假设 $n = n_0 \cdot b_i$，那么原式变成：
$$
b_i^2 \cdot n_0^2 = m^2 \cdot (a^2 \cdot (b_1 \cdot b_2 \cdots b_n))
$$
于是：
$$
b_i \cdot n_0^2 = m^2 \cdot (a^2 \cdot (b_1 \cdot b_2 \cdots b_{i-1} \cdot b_{i+1} \cdots b_n))
$$
因此，$b_i \mid m^2$，即 $b_i \mid m$。
这与 $\gcd(n,m) = 1$ 矛盾，所以不成立。
